你应该具备的基础知识#Vectors 向量及其基础运算Dot Product 点乘Cross Product 叉乘Matrices 矩阵变换是计算机图形学中最基础的部分了，就像加减乘除之于数学。二维和三维图形的平移、旋转、缩放和投影；把一个对象从一个位置、尺寸或方向转换到另一个等等。通过变换，我们可以创建出各种复杂的图形效果：动画、变形和透视等。变换还可以用于相机视图的调整，以及在三维场景中实现物体的移动、旋转和缩放等操作。
二维变换#让我们先从简单的二维变换开始
缩放（以原点为中心）#可以用矩阵表示为：
对于不同比例的缩放：
同样的可以推出翻转：
对于这种切变：
如果我们有一个点P(x, y)，应用上面的切变变换后，它的y坐标始终不变，只有x在水平方向上发生变化；而且当y=0时，水平方向上的变化为0，y=1时，水平方向上的变化为a。我们可以取(0,1) -> (a,1)这一点的变换来推出矩阵：
{x′=a=0+1∗ay′=y=1\begin{cases} x' = a = 0 + 1*a \\ y' = y = 1 \end{cases}{x′=a=0+1∗ay′=y=1你可以试试其他点，都符合这个规律。
其中矩阵的第一行表示x轴方向上的变换，第二行表示y轴方向上的变换。切变矩阵中的元素s表示在x轴方向上的切变比例。当s为正值时，表示向右上方切变；当s为负值时，表示向左上方切变。
接下来是重头戏：旋转（以原点为中心）#我们还是取特殊点：(1,0)、(0,1)的变化来推导 对于(1,0)点，它在旋转 θ 角后变成了(cosθ,sinθ)：
{x′=1∗cosθ+0∗unknowny′=1∗sinθ+0∗unknown\begin{cases} x' = 1 * cosθ + 0 * unknown \\ y' = 1 * sinθ + 0 * unknown \end{cases}{x′=1∗cosθ+0∗unknowny′=1∗sinθ+0∗unknown写成矩阵就是：
[x′y′]=[cosθunknownsinθunknown]⋅[xy]\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cosθ & unknown \\ sinθ & unknown \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}[x′y′]=[cosθsinθunknownunknown]⋅[xy]而对于(0,1)点，它在旋转 θ 角后变成了(-sinθ,cosθ)：
{x′=0∗unknown+1∗(−sinθ)y′=0∗unknown+1∗cosθ\begin{cases} x' = 0 * unknown + 1 * (-sinθ) \\ y' = 0 * unknown + 1 * cosθ \end{cases}{x′=0∗unknown+1∗(−sinθ)y′=0∗unknown+1∗cosθ写成矩阵就是：
[x′y′]=[unknown−sinθunknowncosθ]⋅[xy]\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} unknown & -sinθ \\ unknown & cosθ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}[x′y′]=[unknownunknown−sinθcosθ]⋅[xy]把他们合并起来：
[x′y′]=[cosθ−sinθsinθcosθ]⋅[xy]\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cosθ & -sinθ \\ sinθ & cosθ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}[x′y′]=[cosθsinθ−sinθcosθ]⋅[xy]所以旋转矩阵就是：
Tips#如果我们想要绕这个点旋转−θ-\theta−θ角，按照前面的方法得出的矩阵就是：
R−θ=[cosθsinθ−sinθcosθ]R_{-\theta} = \begin{bmatrix} cosθ & sinθ \\ -sinθ & cosθ \end{bmatrix}R−θ=[cosθ−sinθsinθcosθ]可以看到R−θ=RθTR_{-\theta} = {R_\theta}^{T}R−θ=RθT，同时我们知道一个变换的逆变换就是对应矩阵的逆，于是可以得出：
R−θ=RθT=Rθ−1R_{-\theta} = {R_\theta}^{T} = {R_\theta}^{-1}R−θ=RθT=Rθ−1这个矩阵的逆等于它的转置，所以它是一个正交矩阵。
有旋转就有平移：#看起来很容易不是吗？ 但是如果一个物体既会旋转又要平移，该怎么表示？
平移变换无法用矩阵相乘的形式表示出来，所以我们不得不采用上面这种方式来表示它。
但是这太不优雅了！而且，我们也不希望平移成为一种特例，这样对计算机和人来说，表示和计算起来都十分麻烦。有没有一种统一的方式，能够让我们来表示所有的转换？ 让我们转变思路，进行“升维打击”：
齐次坐标系#齐次坐标系（Homogeneous Coordinates）是一种在计算机图形学和计算机视觉中常用的表示点、向量和变换的方法。通过引入一个额外的维度，我们能够让点和向量可以用更简洁的方式表示，并且能够方便地进行坐标变换。
对二维坐标系来说，一个点通常由其 x、y 表示。但是，在齐次坐标系中，我们增加一个第三维度：
对于二维点，我们将其表示为(x,y,1)T(x, y, 1)^T(x,y,1)T对于二维向量，我们将其表示为(x,y,0)T(x, y, 0)^T(x,y,0)T为什么要这样做？ 想一想点和向量的运算：
{vector+vector=vector(0+0=0)point+vector=point(1+0=1)point−point=vector(1−1=0)\begin{cases} vector + vector = vector & (0+0=0)\\ point + vector = point & (1+0=1)\\ point - point = vector & (1-1=0) \end{cases}⎩⎨⎧vector+vector=vectorpoint+vector=pointpoint−point=vector(0+0=0)(1+0=1)(1−1=0)在齐次坐标系下，
点[xyw]，就是点[x/wy/w1](w≠0)点 \begin{bmatrix} x \\ y \\ w \end{bmatrix} ，就是点 \begin{bmatrix} x / w \\ y / w \\ 1 \end{bmatrix}(w \neq 0)点xyw，就是点x/wy/w1(w=0)对于point+point这种情况:对于point+point这种情况:对于point+point这种情况:[x1y11]+[x2y21]=[x1+x2y1+y22]=[(x1+x2)/2(y1+y2)/21]=Point\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (x_1 + x_2) / 2 \\ (y_1 + y_2) / 2 \\ 1 \end{bmatrix} = Pointx1y11+x2y21=x1+x2y1+y22=(x1+x2)/2(y1+y2)/21=Point说了这么多，这次我们回头再看之前的变换，就可以用一个统一的线性变换表示出来：
这样二维空间下的坐标变换就可以用一种统一的方式来表示了
Tips#矩阵没有交换律：同时需要平移和线性变换的时候，需要先线性变换再平移仿射变换=线性变换+平移顺序很重要#先旋转再平移和先平移再旋转显然是不同的，变换矩阵是从右向左逐个应用的（下图为先旋转再平移）：
前面我们已经讲过了绕原点旋转，如果我们想绕任一点旋转应该怎么做？
将旋转点平移到原点绕原点旋转平移回去
三维变换#表示#与二维同理，只不过多了一个维度：
齐次坐标系也多了一维（像二维变换一样，先线性变换再平移）：
旋转#到了旋转这里，比二维要稍微多一些东西。绕三维空间的某一个轴旋转 α\alphaα 角，写成旋转矩阵就像下图：
绕 xxx 和 zzz 轴旋转都很好理解，但是为什么绕 yyy 轴旋转成了转置呢？
按照右手螺旋定则绕 x y z 轴进行旋转：
X×Y=ZX \times Y = ZX×Y=Z，Y×Z=XY \times Z = XY×Z=X ， 然而 X×Z=−YX \times Z = - YX×Z=−Y ，所以在 XoZXoZXoZ 坐标系下旋转是反的，你也可以看作绕y轴的旋转矩阵左上角的3x3矩阵是循环移位后得到的。
欧拉角#我们前面讨论的主要是绕某个固定轴的旋转，那么如果我们想要实现绕任意角度和任意轴的旋转，该如何处理呢？在这种情况下，我们可以引入一种更为灵活的旋转描述方法：欧拉角。欧拉角通过一系列顺序的轴旋转，能够表示任意方向的旋转，为我们提供了一种简单且直观的方式来处理复杂的旋转变换。
在欧拉角的表示中，常见的一种定义方式是使用 Roll（滚转） 、 Pitch（俯仰） 和 Yaw（偏航） 三个角度来描述物体的旋转。这三个角度分别对应于围绕物体自身的三个主要轴的旋转。
视图变换#在前面的部分中，我们讨论了二维和三维空间中的各种几何变换，如平移、旋转、缩放等。这些变换主要用于改变物体在空间中的位置和形状。然而仅仅描述物体的空间位置和形状是不够的。为了将三维场景正确地投影到二维屏幕上，我们还需要引入一种新的变换：视图变换。
什么是视图变换#如果现在我们想拍一张照片，我们至少要做三件事，这对应着视图变换的三个部分：
找一个风景不错的地方，让模特摆好姿势（模型变换 Model transformation）找一个好角度并放好相机（视图变化 View transformation）按下快门（投影变换 Projection transformation）如何定义相机#要做出视图变换之前，我们还得先知道相机的位姿。我们可以用三个量定义相机：
position（相机在哪）look-at direction（朝哪个方向）up direction（向上的方向：相机的歪斜程度）如果相机和物体做相同的运动，那么拍出来的图片肯定是完全一样的：
这样的话我们可以将相机放在一个固定位置上，方便后续的变换。
我们把相机原点移动到坐标原点处，令Y为向上方向，让相机视线朝向-Z，并随摄像机变换其他的对象。
将任意相机移到原点位置#相机的变换矩阵可以写成 Mview=Rview⋅TviewM_{view}=R_{view}\cdot T_{view}Mview=Rview⋅Tview
我们先将相机平移到坐标原点：
将相机从一个随机的位姿旋转到坐标轴上（向上方向到Y，相机视线朝向-Z）显然是十分困难的；不过，我们可以逆向思维，先求出从原点到相机的旋转矩阵，再求逆就可以得到我们想要的结果：