1. 连续函数的基本概念
单变量函数的连续性
张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
rui@ustc.edu.cn
连续函数的基本概念
1. 连续函数的基本概念
1.1. 连续的定义
1.2. 左、右连续与间断
1.3. 连续函数的运算
1.4. 初等函数的连续性
1.5. 目录
连续的定义
定义 1. (函数在一点处连续)
函数在的某个邻域内有定义。若
则称函数在点处连续，点称为函数的连续点。否则称在点不连续，是的间断点。
用语言描述函数在点连续：，存在，满足
也可以用增量的概念来描述连续性。当自变量由变化到时，就说自变量在处有一个增量，此时函数也有了一个相应的增量
函数在点处连续，就是说当自变量增量趋于时，函数值增量也趋于。即
例 1. 函数在处连续
函数在一个点连续，只与函数在这个点与这个点附近的值有关。因此是一种“局部性质”
定义 2.
如果函数在开区间内每一点处都是连续的，则称在开区间上连续。
左、右连续与间断
定义 3. (左、右连续)
如果，则称在处左连续
如果，则称在处右连续
左、右连续统称为单侧连续
注.
函数在一点连续的充要条件是函数在这一点既左连续，又右连续。
定义 4.
函数在包含端点的区间（如）上连续是指，函数在区间内部每一点都连续，并且在端点上有相应的单侧连续性（如在处右连续）。
定义 5.
为函数的间断点。
（1） 函数在的左、右极限都存在，则称是的第一类间断。
如果，则称为跳跃间断点，跳跃度为；
如果，则称为可去间断点
（2） 若函数在的左、右极限至少有一个不存在，则称为的第二类间断。
如无穷间断点()，振荡间断点(在的过程中，无限次振荡，极限不存在)
例 2. (例2.1.1) 函数, 在处的连续性。
例 3. (例2.1.3) 函数
在处的连续性。
例 4. (例2.1.3) Dirichlet函数
在任意一点都是第二类间断。, 的间断点呢？
例 5. Riemann函数
例 6. 函数
判定函数的连续性
连续函数的运算
定理 1. (连续函数的四则运算)
如果函数，在连续，则函数， ， 及()在处也连续。进一步，如果，在区间连续，则它们的和、差、积、商都在区间连续。
定理 2. (复合函数的连续性)
函数在连续，而函数在连续，则复合函数在处连续。即有
定理 3. (反函数的连续性)
函数在某个区间上连续，则在区间上存在反函数的充分必要条件是严格单调增（减）。且此时，它的反函数在对应的定义域内也是严格单调增（减）的连续函数。
例 7. 设
研究复合函数的连续性
例 8. (习题) 设在点处，函数连续，而不连续，问函数与在点的连续性如何？若与在都不连续，结论又是什么？
例 9. (习题)
（1） 函数在点处连续，则函数在也连续。
（2） 函数和在一个区间上连续，则函数
在区间上也都连续。
（3）存在函数处处不连续，但处处连续。
初等函数的连续性
定理 4. (初等函数的连续性)
所有初等函数在其定义域内是连续函数。
, 连续，则, , , ,
, 连续
, 连续，则指数函数，对数函数连续
，则幂函数连续
, , , 也连续
根据连续函数的特性，以及初等函数的连续性，自然地有如下结论
，则。
，且，则, 其中为任意实数。
，且，则。
, 为初等函数，且在的定义域内，则有。
例 10. 证明
例 11. 证明时，
当时，与等价的无穷小有
, , , , ,
例 12. 在上连续，且
则, 为常数
谢谢
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目录
1. 连续函数的基本概念
1.1. 连续的定义
1.2. 左、右连续与间断
1.3. 连续函数的运算
1.4. 初等函数的连续性
1.5. 目录
本节读完
例 13. 谢
13.